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Abgesehen von einfachen Stäben mit Lagerung nur an den Endpunkten werden zur Berechnung von Eigenfrequenzen meist Näherungsverfahren (z.B. Rayleigh-Quotient mit Ansatzfunktionen für Biegelinie) angewendet. Dabei ist die Genauigkeit i.d.R. unbekannt und bei höheren Eigenwerten oft nicht mehr ausreichend. Im Beitrag wird eine genaue Berechnung beliebiger Eigenfrequenzen mit Hilfe der Übertragungsbeziehung gezeigt. Dabei handelt es sich um Querschwingungen von Stäben, die auch im Feld gelagert sein können oder dort Gelenke aufweisen. Für den Balken auf zwei Stützen mit Kragarmen (auch unterschiedlich lang) werden zur Ermittlung der ersten beiden Eigenfrequenzen Diagramme zur Verfügung gestellt.

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Für die Berechnung eines Stabes mit allgemeinem 3-Blech-Querschnitt (Steg vertikal, Gurte horizontal) unter Normalkraft, doppelter Biegung und Wölbkrafttorsion werden fertige Formeln angegeben. Als Bezugsachsen werden die vertikale Stegachse und die horizontale Achse in Stegmitte verwendet. Damit entfällt die Bestimmung von Schwerpunkt und Lage der Hauptachsen. Kenntnisse über die Theorie der Wölbkrafttorsion sind nicht erforderlich. Wölbwiderstand und Lage des Schubmittelpunktes werden im Verlauf der Rechnung erhalten. Die dargestellte Theorie wird sowohl für die Biegung als auch die Torsion mit Hilfe der (lagerungsunabhängigen) Übertragungsbeziehungen formuliert. Die Bestimmung der erforderlichen Anfangswerte wird für drei Stablagerungsfälle explizit angegeben. Es können alle interessierenden Schnittgrößen, Verschiebungsgrößen und Spannungen berechnet werden. Drei Zahlenbeispiele erläutern das Vorgehen.

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Bei Belastung durch hydrostatischen Druck und Anwendung der Theorie II. Ordnung ist zu beachten, daß im Verlauf des Verformungsvorgangs sich im allgemeinen Richtung und Betrag der Last ändern. Die Richtung ändert sich mit der Drehung der Stabachse (normalentreue Belastung) und der Betrag mit deren Vertikalverschiebungskomponente (Wassertiefe). Beide Phänomene beeinflussen die Theorie II. Ordnung grundlegend, das heißt, die übliche Stabtheorie II. Ordnung für richtungstreue Belastung ist nicht mehr zutreffend. Es wird die Übertragungsbeziehung für den Einzelstab hergeleitet und das darauf aufbauende Reduktionsverfahren mitgeteilt. Die Anwendung wird anhand von drei Beispielen gezeigt.

Der Beitrag behandelt regelmäßige, geschlossene n-Ecke und den Kreisring unter konstantem hydrostatischem Außendruck. Die Berechnung erfolgt nach Elastitzitätstheorie II. Ordnung unter Berücksichtigung von Verformungen, die ähnlich zur Knickbiegelinie des maßgebenden Verzweigungsfalls sind. Der konstante hydrostatische Druck liegt vor, wenn das betrachtete System in einer horizontalen Ebene liegt. Dies trifft beispielsweise für eine vertikal stehende zylindrische Zelle zu, deren horizontaler Schnitt aus einem solchen n-Eck bzw. Kreisring besteht. Bei der Anwendung der Theorie II. Ordnung ist die vorliegende Normalentreue der Belastung von entscheidender Bedeutung, sie beeinflußt damit auch wesentlich die Größe der Verzweigungslasten. Im einzelnen werden Formeln für die Bemessungsmomente und Formeln sowie Diagramme zur Ermittlung der elastischen Grenzlast mitgeteilt. Zwei Beispiele zeigen die praktische Anwendung.

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Im Aufsatz wird untersucht, welchen Einfluß Wölb- und Torsionsverformungen auf das Tragverhalten eines beidseitig gabelgelagerten Stabes unter Längskraft und doppelter Biegung haben. Die Berechnungen werden nach Fließzonentheorie I. und II. Ordnung durchgeführt, und es werden Last-Verformungs-Diagramme bis zum Erreichen der Traglast angegeben. Bei Theorie I. Ordnung bleiben die Traglasten von den Torsionseffekten unbeeinflußt; das gleiche gilt auch für den Versagensmechnismus, so daß die auf der Basis von Bernoulli hergeleiteten Interaktionsbeziehungen unverändert ihre Gültigkeit behalten. Im Fall der Theorie II. Ordnung werden die Traglasten vor der vollen Querschnittsplastizierung erreicht. Hier wirken sich die Torsionseinflüsse ungünstig auf die Traglasten aus; die Interaktionsbeziehungen werden aus erwähnten Gründen nicht benötigt.

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Im Beitrag wird die (derzeit) strittige Frage diskutiert, ob bei den N-My-Mz-Interaktionsbeziehungen für einen I-Querschnitt die Bedingung Wölbbimoment sinnvoll bzw. zulässig ist. Es wird gezeigt, daß im Fall der Elastizitätstheorie FMw = 0 als Verträglichkeitsbedingung in Übereinstimmung mit Bernoulli existiert, daß aber im Fall der Plastizitätstheorie FMw = 0 Bernoulli wiederspricht, also bei Annahme ebenbleibender Querschnitte unzulässig ist. Daneben wird das Problem der Einleitung einer exentrischen Längskraft an einem Endquerschnitt mit nicht behinderter Verwölbung untersucht und gezeigt, daß auch hier FMw = 0 eine nicht zutreffende Annahme wäre. Eine Gleichgewichtsbedingung FMw = 0 gibt es auf keinen Fall.

Auf der Basis des in [2] angegebenen Lösungsverfahrens für lineare Differentialgleichungen mit (stetig) veränderlichen Koeffizienten wird im vorliegenden Beitrag eine allgemeine Stabtheorie (ebenes Problem) vorgestellt. Dabei lassen sich M-, Q- und N-Verformungen, Theorie I. und II. Ordnung, elastische Bettung sowie harmonische Schwingungen berücksichtigen. Querschnittswerte, Normalkraft (im Fall der Theorie II. Ordnung), Bettungsziffer und Massenbelegung (im Fall Schwingungen) dürfen gemäß eines beliebigen Polynoms veränderlich sein. Der allgemeine Fall, bei dem alle genannten Einflüsse gleichzeitig vorhanden sein können, schließt (ohne Fallunterscheidung) beliebige Sonderfälle bis hin zur einfachsten Stabtheorie ein. Alle Ergebnisse stellen (im Rahmen der angewendeten Theorie) genaue, analytische Lösungen dar. Der einzelne Stab wird stets als ein Element behandelt, das heißt, Unterteilungen in Abschnitte wie bei numerischen Verfahren entfallen. Anhand eines Zahlenbeispiels, bei dem Querschnitt, Normalkraft und Massenbelegung veränderlich sind, wird der Rechengang detailliert gezeigt. Auf der Grundlage der hier behandelten baustatischen Theorie wurde das allgemeine Stabwerksprogramm "IQ 100" erstellt, das beim Werner-Verlag, Düsseldorf erhältlich ist.

Die betrachteten linearen Differentialgleichungen dürfen von beliebiger Ordnung sein, können veränderliche Koeffizienten - nämlich Polynome beliebigen Grades - aufweisen, und die Störungsfunktion (rechte Seite) kann ebenfalls aus einem Polymon beliebigen Grades bestehen. Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung und die partikuläre Lösung wird beschrieben. Als unbekannte Konstante treten in der Lösung die Anfangswerte der gesuchten Funktion und ihrer Ableitungen auf. Zunächst werden die Funktionen für die partikuläre Lösung mit Hilfe von konvergierenden Reihen ermittelt, die Funktionen für die homogene Lösung dann unmittelbar aus diesen berechnet. Bei konstanten Koeffizienten liegt stets Konvergenz für die homogene Lösung vor, während bei veränderlichen Koeffizienten dies nicht immer der Fall ist. Durch Unterteilung des betrachteten Intervalls für die unabhängige Veränderliche x kann aber auch hier immer Konvergenz erreicht werden. Zur Erleichterung der Programmierung werden Struktogramme für die vollständige Berechnung aller Lösungsfunktionen und deren Ableitungen angegeben. Die Anwendung des Lösungsverfahrens wird anhand des Beispiels eines elastisch gebetteten Stabes gezeigt, wobei Biegesteifigkeit und Bettungsmodul veränderlich sind. In allen Fällen handelt es sich um genaue, analytische Lösungen.

Mit Hilfe der Übertragungsbeziehung wird das Tragverhalten eines Stabes oder Stababschnittes mit linear veränderlicher Höhe unter Berücksichtigung der M-, Q- und N-Verformungen beschrieben. Es wird gezeigt, daß das Moment M neben der Verkrümmung auch eine Schubverzerrung und die Querkraft Q neben der Schubverzerrung auch eine Verkrümmung des Stabelements hervorruft. Die praktische Anwendung wird anhand von zwei Beispielen erläutert. Außer der Übertragungsbeziehung, die Basis des Reduktionsverfahrens ist, werden auch die für das Kraftgrößen- und Verschiebungsgrößenverfahren sowie für das Prinzip der virtuellen Kräfte erforderlichen Stabformeln mitgeteilt.

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Die im Entwurf der DIN 18800 Teil 2 enthaltenen Näherungsvorschläge zur Bestimmung der Knicklasten und Knicklängen für unverschiebliche und verschiebliche Rahmen werden erläutert. Danach wird das Sytem in einzelne Teilsysteme so zerlegt, daß deren Verzweigungslastfaktor und Knicklänge aus Diagrammen bestimmt werden können. Der kleinste aller dieser Verzweigungslastfaktoren stellt eine Näherung für den tatsächlichen Wert des ganzen Systems dar. Drei Beispiele für unverschiebliche und ebenfalls drei Beispiele für verschiebliche Systeme erläutern die Anwendung der Näherungsmethode. Die Ergebnisse zeigen, daß der Fehler nur einige Prozent beträgt und in der Regel auf der sicheren Seite liegt.

Das Reduktionsverfahren für im Grundriss gekrümmte Stabsysteme stellt in der angegebenen Form eine systematische, vollständige und rationelle Berechnungsmethode dar, die nicht nur für Computerprogramme geeignet ist. Es wird eine allgemeine und zugleich einfache Formulierung der Feldmatrix mitgeteilt, die die Berücksichtigung beliebiger Lastfälle erlaubt und die insbesondere auch für gerade Stababschnitte und solche mit kleinem Zentriwinkel ohne numerische Schwierigkeiten anwendbar ist.

Für den Fall des kombinierten Beul-Knick-Problems stehen zwei unterschiedliche Berechnungsvorschläge im Zusammenhang mit der Neufassung von Stabilitätsnormen zur Diskussion. Beim 1. Vorschlag wird eine reduzierte aufnehmbare Spannung für den beulenden Querschnittsteil vorgeschrieben, während beim 2. Vorschlag für diesen Querschnittsteil eine mittragende Breite einzuführen ist. Einerseits wird gezeigt, daß der 1. Vorschlag kein allgemein brauchbares Näherungsmodell darstellt. Andererseits wird eine vereinfachte Berechnung vorgeschlagen, die auf dem Konzept der mittragenden Breite beruht und die für alle untersuchten Fälle ausreichend genau ist.

Die Europäische Knickspannungsfunktion ist für Stäbe unter mittigem Druck gültig. Im Beitrag wird eine Erweiterung dieser Funktion für einige einfache Fälle von Druck und planmäßiger Biegung vorgenommen und anhand von acht Zahlenbeispielen erläutert.

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Iterationsverfahren mit Anwendung für elektronische Rechner zur Schnittkraftermittlung vielfach statisch unbestimmter Rahmen.